Yazı tura olasılığı gerçekten yüzde 50 mi? 350.757 atışın sonucu

Yazı tura olasılığı pratikte yüzde 50'dir, ama elde atılıp yakalanan bir para başladığı yüzle inmeye çok az da olsa yatkındır. 48 kişinin attığı 350.757 atışta para, havaya atılırken yukarı bakan yüzle yüzde 50,8 oranında indi. Yazı ile tura arasında ise fark çıkmadı, ikisi de yüzde 50,0 civarında geldi.

Bu sapma küçüktür ve iki seçenek arasında karar vermek için yazı tura atıyorsanız hiçbir şeyi değiştirmez. Sapmanın nereden geldiğini, deneyin neyi gösterip neyi göstermediğini ve bilgisayardaki simülatörün bu açıdan nasıl farklılaştığını aşağıda bulabilirsiniz. Rakamlar, makalenin arXiv'deki Nisan 2025 tarihli son sürümünden alındı. Makale, Journal of the American Statistical Association dergisinde yayımlandı.

Yazı tura olasılığı neden yüzde 50 kabul edilir?

İki yüzü de aynı ihtimalle gelen ideal bir paranın olasılığı 1/2'dir. Paranın yazı tura olasılığı için kullanılan bu değer bir varsayıma dayanır: paranın iki yüzü dengeli olmalı ve atış hiçbir yüzü kayırmamalıdır. Bu iki koşulun gerçek atışlarda ne kadar tuttuğunu ancak ölçüm gösterir.

Eski ölçümler yüzde 50'ye çok yakın çıktı. 2023 deneyinin makalesinde anılan kayıtlara göre John Kerrich 10.000 atışta 5.067 yazı, Karl Pearson 24.000 atışta 12.012 tura elde etti. Ancak bu kayıtlar paranın hangi yüzle başladığını tutmadığı için küçük bir sapmayı sınamaya yetmez.

Paranın kenarı üzerinde durma ihtimali de vardır ama çok küçüktür. Diaconis ve arkadaşlarının aktardığı bir çalışmaya göre ABD'nin 5 sentlik parası yaklaşık 6.000 atışın birinde kenarı üzerinde kalır.

Yazı tura rastgele mi, yoksa fizik mi?

Persi Diaconis, Susan Holmes ve Richard Montgomery'nin 2007'de SIAM Review dergisinde yayımlanan makalesine göre elde atılıp yakalanan bir paranın uçuşu mekanik kurallara uyar ve başlangıç koşulları belirliyse sonuç da belirlidir. Makalenin girişinde bir para atma makinesi anlatılır. Makine iyi ayarlandığında yazı yukarı başlayan para her seferinde, yani yüzde 100 oranında yazı olarak iner. Yazarlar buradan paranın atılmasının rastgele değil, fizik olduğu sonucunu çıkarır. Elle yapılan bir para atışı rastgele görünür, çünkü başlangıç koşulları her seferinde biraz farklıdır.

Gerçek atışta para düz bir eksende dönmez, hafifçe sallanır. Dönme ekseninin yönü uçuş sırasında değişir ve buna devinim (precession) denir. Modele göre bu sallanma, paranın havada başladığı yüzü yukarıda biraz daha uzun tutar. Kuvvetle atılan paranın başladığı yüzle inme olasılığı bu yüzden yarıdan biraz büyük olur ve sapmanın boyutu, dönme ekseniyle paranın yüzeyine dik doğrultu arasındaki açıya bağlıdır.

Yazarlar bu açıyı yüksek hızlı kamerayla ölçtü. 50 atıştan 27'si kullanılabilir sonuç verdi ve bu atışlardan hesaplanan olasılıkların ortalaması 0,508 çıktı. Makale bu değeri "yaklaşık 0,51" olarak yuvarlar. Yani sık duyulan yüzde 51, 27 atışa dayanan bir model tahminidir ve ölçülmüş bir oran değildir. Ölçüm ancak 2023'te yapıldı.

Parayı havaya atmak yerine kenarı üzerinde döndürmek ise başka bir yöntemdir ve aynı makaleye göre adil olmayabilir. Berkeley'de 103 öğrenciye bir ABD 1 sentini 100 kez atmaları ve 100 kez döndürmeleri söylendi. Atılan paralar 50 civarında yazı verdi, döndürülen paralarda ise belirgin biçimde fazla tura çıktı ve bazı öğrencilerde yazı oranı yüzde 10'un altında kaldı.

350.757 atış: yazı tura gerçekten yüzde 50 mi?

Amsterdam Üniversitesi'nden František Bartoš, Eric-Jan Wagenmakers ve 48 ortak yazar, 2007 modelinin tahminini doğrudan sınamak için atış topladı. Toplanan 350.757 atış, yazarlara göre bildikleri tüm önceki çabaların çok üstündedir.

Deney nasıl yapıldı?

48 kişi, 44 farklı para birimi ve nominal birleşimiyle toplam 350.757 atış yaptı. Beş lisans öğrencisi 75.036, "maraton" etkinliklerinde 12 saate kadar atış yapan 35 kişi 203.440 ve Twitter çağrısına yanıt veren yedi kişi 72.281 atış katkı verdi. Her kişi 100 atışlık seriler topladı ve protokol şöyleydi:

1. Serinin ilk atışının başlangıç yüzü rastgele ya da bir algoritmayla seçilir.
2. Para atılır ve elde yakalanır, iniş yüzü kaydedilir.
3. Sonraki atış, paranın bir önceki inişteki yüzünden başlar.
4. Yakalanmayan atış sayılmaz ve aynı yüzden yeniden atılır.

Katılımcılar atışlarını videoya çekip yükledi ve yazarlar kayıtları denetledi. Denetimde şüpheli bir şey bulunmadı.

Sonuçlar

Aşağıdaki tablo, makaledeki ana ölçümleri özetler. Aralıklar, yazarların kullandığı Bayesçi yöntemin %95 güvenilir aralığıdır ve kabaca ölçümün belirsizlik payını gösterir.

Bu büyüklükteki bir farkın 350 bin atışta tesadüfen çıkma ihtimali çok düşüktür ve yazarlar kanıtı güçlü olarak değerlendirir. Kişi başına oranlar küçük örneklere dayandığı için aradaki farkın bir kısmı da şans kaynaklıdır.

Yazı mı tura mı daha çok gelir?

Eşit sıklıkta gelirler. Her serinin başlangıç yüzü rastgele seçildiği için "aynı yüz" eğilimi yazıyı da turayı da aynı oranda kayırır. Bu yüzden yazı oranı yüzde 50,01 çıktı ve bu oranın paraya göre değiştiğine dair bir işaret görülmedi.

Bu deney neyi göstermiyor?

• Paranın bir yüzünün diğerinden ağır olduğunu ya da yazının turadan sık geldiğini göstermez. Sapma, başlangıç yüzüyle ilgilidir.
• Herkes için geçerli bir oran vermez. Yüzde 50,8 bir ortalamadır ve bazı kişilerde sapma neredeyse hiç yoktur.
• Yalnızca elde yakalanan para atışlarını kapsar. Yere düşüp seken ya da masada döndürülen paralar deneyin dışındadır.
• Katılımcılar rastgele seçilmedi. Öğrenciler, maraton etkinliklerine katılanlar ve Twitter çağrısına yanıt verenlerdi.
• Katılımcılar hipotezi biliyordu. Yazarlar sonucu bilinçli etkilemelerini olası bulmuyor ama bunu kesin olarak dışlayamıyor.
• Alıştırma etkisi sonradan yapılan keşifsel bir analizdir. Yorgunluk ya da dikkat azalması gibi başka açıklamalar dışlanmaz.

%50,8 pratikte ne anlama gelir?

Varsayımsal bir örnekle bakalım. Bir kişinin parayı hep yazı yukarı bakacak şekilde başlattığını ve deneyin ortalaması olan %50,77 oranında yazı elde ettiğini varsayın. Tablo bu kişiyi adil bir parayla (%50) karşılaştırır. Adil paranın standart sapması √(N × 0,5 × 0,5) formülüyle hesaplandı. Son sütun, fazladan gelen yazının standart sapmanın kaç katı olduğunu gösterir ve sapmanın ne kadar görünür olduğunu belirler.

Tablodaki değerler hesaplanmıştır, deneyin ölçümü değildir ve her atışın aynı kişi tarafından aynı oranla yapıldığını varsayar. Gerçek atışlarda oran kişiden kişiye değişir.

Sonuç şudur: 1.000 atışta fark standart sapmanın yarısı kadardır. Adil bir parada bile 508 ya da daha fazla yazı gelmesi ihtimali yüzde 31,8'dir, yani tek bir 1.000 atışlık denemede sapma fark edilemez. Ölçüm belirsizliğini farkın boyutuna indirmek için bile normal yaklaşımla hesaplandığında kabaca 16.000 atış gerekir. Eski kayıtlar başlangıç yüzünü tutmadığı için bir yana, bu büyüklükteki bir sapma küçük serilerde zaten gürültüde kaybolur.

Yazarlar farkı bir bahisle de anlatır. Kazanırsanız 2, kaybederseniz 0 dolar aldığınız 1 dolarlık bahsi 1.000 kez oynarsanız, başlangıç yüzünü bilmek size ortalama yaklaşık 15 dolar kazandırır. Yazarlar daha yüksek bir tahminle 19 dolar verir. Bunu kumarhane avantajıyla kıyaslarlar: altı desteli blackjack'te kasa benzer bir bahiste 1.000 turda ortalama 5 dolar, tek sıfırlı ruletle 27 dolar kazanır.

Bilgisayardaki yazı tura gerçek paradan farklı mı?

Evet, ama sebebi "daha adil" olması değildir. Tarayıcıdaki yazı tura simülatörü sözde rastgele (pseudo-random) bir sayı üretici kullanır. Chrome ve diğer V8 tabanlı tarayıcılarda JavaScript'in `Math.random()` fonksiyonu, Chrome 49'dan beri xorshift128+ algoritmasıyla çalışır. V8 ekibi algoritmanın TestU01 test setini geçtiğini bildirir. MDN ise bu fonksiyonun güvenlikle ilgili işlerde kullanılmaması gerektiğini söyler.

Simülatörde başlangıç yüzü ve sallanma yoktur. Deneyde ölçülen fiziksel sapmanın kaynağı bu araçta bulunmaz. Yerine algoritmanın kendi rastgeleliği geçer: sonuç bir sayı dizisinden gelir ve tohum değerini tarayıcı seçer. Gündelik kararlar için fark yoktur. İkiden fazla seçenek gerekiyorsa rastgele sayı üretici kullanılabilir. Yazı tura atma aracının sayfası ise simülatör ile gerçek para farkını genel hatlarıyla anlatır.

Büyük sayılar kanunu ve kumarbaz yanılgısı

Büyük sayılar kanunu yazı tura için şunu söyler: atış sayısı arttıkça yazı oranı 1/2'ye yaklaşır. Aynı kanun büyük sayılar yasası adıyla da geçer. Yazı sayısı ile tura sayısının eşitleneceğini söylemez. Wikipedia'nın (İngilizce) özetine göre yazı ile tura sayısı arasındaki mutlak fark atış sayısıyla birlikte büyür, küçülen ise farkın toplam atışa oranıdır.

Kerrich'in 10.000 atışında yazı oranı yüzde 50,67 çıktı. Bu, 5.067 yazıya ve 4.933 tura karşılık gelir, yani 134 farka eşittir. Bir milyon atışta yazı ile tura sayısı arasındaki tipik fark yaklaşık 800 olur ama yazı oranı yüzde 50'den 0,04 puandan fazla ayrılmaz. Standart sapmayı kendi rakamlarınızla görmek için standart sapma hesaplama aracına bakabilirsiniz.

Kumarbaz yanılgısı, bağımsız bir olayın beklenenden az çıktığı için yakında çıkacağını sanmaktır. Wikipedia'da (İngilizce) anlatıldığı gibi adil bir parada art arda dört yazıdan sonra da beşincinin tura gelme ihtimali yine 1/2'dir. Seri görmek ise normaldir. Betikle hesaplandığında adil bir parayla 100 atışta bir yerde en az 5 yazı art arda gelme olasılığı yüzde 81, en az 5 aynı yüzün art arda gelme olasılığı ise yüzde 97'dir. Deneydeki "aynı yüz" eğilimi önceki sonuçlarla değil, atıştan önce hangi yüzün yukarı baktığıyla ilgilidir. Bu yüzden tura "borçlu" olmaz.

Karar vermek için yazı tura adil mi?

Evet. Ölçülen fark 350.757 atışta bile bir puanın altında kaldı, yazı ile tura arasında ise fark çıkmadı. Sapma yalnızca atışı yapan kişi başlangıç yüzünü biliyorsa ve çağrıyı yapan kişi buna göre seçebiliyorsa küçük bir avantaj verir. Yazarlar yüksek riskli kararlar için başlangıç yüzünün gizlenmesini önerir.

Pratikte bu, çağrıyı yapan kişinin atış başlarken hangi yüzün yukarı baktığını görmemesi demektir. Çağrıyı para atılmadan önce, yüzü görmeden yapmak ya da atan kişinin başlangıç yüzünü her seferinde rastgele seçmesi bunu sağlar. Parayı masada döndürmek ise adil bir yöntem değildir. Günlük kararlarda bu önlemlere gerek yoktur, çünkü 0,8 puanlık fark tek bir atışın sonucunu öngörülebilir kılmaz.